Diketahui matriks \( A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \) dan B adalah matriks dengan entri-entri bernilai real sedemikian sehingga \(AB = BA\). Nilai terkecil untuk determinan B adalah…
- -2
- -1
- 0
- 1
- 2
(SIMAK UI 2015 MATDAS)
Pembahasan:
Misalkan \( B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) sehingga:
\begin{aligned} AB &= BA \\[8pt] \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \\[8pt] \begin{pmatrix} 2a-2c & 2b-2d \\ 2a+2c & 2b+2d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2a+2b & -2a+2b \\ 2c+2d & -2c+2d \end{pmatrix} \\[8pt] 2a-2c &= 2a+2b \Leftrightarrow b=-c \\[8pt] 2a+2c &= 2c+2d \Leftrightarrow a = d \\[8pt] |B| &= ad-bc = (a)(a)-(-c)(c) \\[8pt] &= a^2+c^2 \end{aligned}
Karena entri-entri dari B adalah bilangan real maka nilai terkecil dari determinan B adalah nol.
Jawaban C.